Cherchons les solutions dans \(\mathbb C\) de l'équation :
$$ z^3=1. $$On écrit :
$$ z^3-1=0. $$Puis on factorise :
$$ z^3-1=(z-1)(z^2+z+1). $$Les solutions sont donc :
$$ z=1 $$ou les solutions de :
$$ z^2+z+1=0. $$Les solutions de
$$ z^2+z+1=0 $$sont notées :
$$ j \qquad\text{et}\qquad j^2. $$On obtient alors :
$$ j^2+j+1=0. $$c'est-à-dire :
$$ \boxed{1+j+j^2=0}. $$Les trois solutions de \(z^3=1\) sont :
$$ 1=e^{i0} $$ $$ j=e^{i\frac{2\pi}{3}} $$ $$ j^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}. $$On vérifie que :
$$ j^3=1. $$Multiplier par \(j\) revient à effectuer une rotation de centre \(O\) et d'angle :
$$ \frac{2\pi}{3}. $$Considérons les points :
$$ A(1,0) $$ $$ J\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right) $$ $$ J'\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right). $$Leurs affixes sont respectivement :
$$ 1,\qquad j,\qquad j^2. $$Les rayons valent :
$$ OA=OJ=OJ'=1. $$Les angles au centre valent :
$$ \frac{2\pi}{3}. $$Les côtés valent :
$$ AJ=JJ'=J'A=\sqrt3. $$On utilise la factorisation :
$$ \boxed{ z^n-1= (z-1) (1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}) } $$Le théorème donne :
$$ z_k=e^{i\frac{2k\pi}{5}} \qquad (k=0,1,2,3,4). $$Les solutions sont :
$$ 1, \quad e^{i\frac{2\pi}{5}}, \quad e^{i\frac{4\pi}{5}}, \quad e^{i\frac{6\pi}{5}}, \quad e^{i\frac{8\pi}{5}}. $$Observons d'abord que
$$ 1,\quad z,\quad z^2,\quad \ldots,\quad z^{n-1} $$forme une suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(z\).
Développons maintenant le produit :
$$ (z-1) \left( 1+z+z^2+\cdots+z^{n-1} \right). $$On distribue d'abord le terme \(z\) :
$$ \color{blue}{z\times1} + \color{blue}{z\times z} + \color{blue}{z\times z^2} + \cdots + \color{blue}{z\times z^{n-1}} $$ $$ = \color{blue}{z} + \color{blue}{z^2} + \color{blue}{z^3} + \cdots + \color{blue}{z^n} $$Puis on distribue le terme \(-1\) :
$$ \color{red}{-1\times1} + \color{red}{-1\times z} + \color{red}{-1\times z^2} + \cdots + \color{red}{-1\times z^{n-1}} $$ $$ = \color{red}{-1} + \color{red}{-z} + \color{red}{-z^2} + \cdots + \color{red}{-z^{n-1}} $$En regroupant :
$$ \begin{aligned} & \color{red}{-1} \\[3mm] &+ \cancel{\color{blue}{z}} +\cancel{\color{red}{(-z)}} \\[3mm] &+ \cancel{\color{blue}{z^2}} +\cancel{\color{red}{(-z^2)}} \\[3mm] &+ \cancel{\color{blue}{z^3}} +\cancel{\color{red}{(-z^3)}} \\[3mm] &+\cdots \\[3mm] &+ \cancel{\color{blue}{z^{n-1}}} +\cancel{\color{red}{(-z^{n-1})}} \\[3mm] &+ \color{blue}{z^n} \end{aligned} $$Tous les termes intermédiaires disparaissent.
Il reste uniquement :
$$ \boxed{ z^n-1 } $$Ainsi :
$$ \boxed{ (z-1) (1+z+z^2+\cdots+z^{n-1}) = z^n-1 } $$Dans le théorème, on remplace :
$$ n=8. $$La formule devient :
$$ z_k=e^{i\frac{2k\pi}{8}} \qquad (k=0,1,\ldots,7). $$Après simplification :
$$ z_k=e^{i\frac{k\pi}{4}}. $$Les huit solutions sont :
$$ z_0=e^{i0}=1 $$ $$ z_1=e^{i\frac{\pi}{4}} $$ $$ z_2=e^{i\frac{\pi}{2}} $$ $$ z_3=e^{i\frac{3\pi}{4}} $$ $$ z_4=e^{i\pi} $$ $$ z_5=e^{i\frac{5\pi}{4}} $$ $$ z_6=e^{i\frac{3\pi}{2}} $$ $$ z_7=e^{i\frac{7\pi}{4}}. $$avec
$$ k=0,1,\ldots,n-1. $$On obtient immédiatement toutes les racines n-ièmes de l'unité.
Dans cet exercice, on cherche les solutions de :
$$ z^9=1. $$On applique le théorème avec :
$$ n=9. $$La formule devient :
$$ \boxed{ z_k=e^{i\frac{2k\pi}{9}} } \qquad (k=0,1,\ldots,8). $$À l'aide de la formule précédente, compléter le tableau suivant.
| \(k\) | \(z_k=e^{i\frac{2k\pi}{9}}\) |
|---|---|
| 0 | \(z_0=\) .............................................. |
| 1 | \(z_1=\) .............................................. |
| 2 | \(z_2=\) .............................................. |
| 3 | \(z_3=\) .............................................. |
| 4 | \(z_4=\) .............................................. |
| 5 | \(z_5=\) .............................................. |
| 6 | \(z_6=\) .............................................. |
| 7 | \(z_7=\) .............................................. |
| 8 | \(z_8=\) .............................................. |