Dans le chapitre précédent, nous avons découvert les nombres complexes à partir d'une figure géométrique. Nous avons rencontré les nombres \[ 1,\quad J,\quad J^2 \] et nous avons montré que \[ J^3=1. \] Ces trois nombres apparaissent naturellement comme les sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité. Mais de nombreuses questions restent ouvertes. Pourquoi ces trois points sont-ils répartis de manière parfaitement régulière ? Pourquoi le nombre \(J\) joue-t-il un rôle si particulier ? Et existe-t-il d'autres familles de nombres présentant les mêmes propriétés ? Nous allons progressivement répondre à ces questions.
Nous avons obtenu les trois nombres :
\[ 1 \] \[ J= -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} \] \[ J^2= -\frac12 - i\frac{\sqrt3}{2} \]et nous avons démontré que :
\[ J^3=1 \]Le calcul des puissances successives de \(J\) donne :
\[ J^0=1 \] \[ J^1=J \] \[ J^2=J^2 \] \[ J^3=1 \] \[ J^4=J \] \[ J^5=J^2 \] \[ J^6=1 \]Le phénomène recommence indéfiniment.
Les puissances de \(J\) forment un cycle de longueur 3.
Après trois multiplications, nous revenons exactement au point de départ.
Les parties réelles sont identiques.
Les parties imaginaires sont opposées.
Le nombre \(J^2\) est le conjugué du nombre \(J\).
\[ \boxed{ J^2=\overline J } \]Dans le plan complexe, les points représentant \(J\) et \(J^2\) sont symétriques par rapport à l'axe réel.
Nous avons obtenu :
\[ J= \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \]Calculons maintenant \(J^2\).
\[ J^2= \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} \right)^2 \]Or nous savons déjà que :
\[ J^2= \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \]Lorsque l'on élève \(J\) au carré, l'angle est lui aussi multiplié par \(2\).
\[ \frac{2\pi}{3} \longrightarrow \frac{4\pi}{3} \]L'angle
\[ \frac{2\pi}{3} \]a été multiplié par
\[ 3 \]pour devenir
\[ 2\pi \]Ne serait-il pas vrai que :
\[ (\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta) \]pour tout entier naturel \(n\) ?
Cette propriété sera démontrée plus tard.
Pour alléger les écritures, on note :
\[ e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta \]z3 - 1 = (z - 1)(z2 + z + 1)
Les trois nombres
\[ 1,\quad J,\quad J^2 \]ont tous pour module :
\[ 1 \]Ils appartiennent donc au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
Les trois points semblent partager le cercle en trois parties égales.
Le point \(1\) est situé sur l'axe réel positif.
Son angle est :
\[ 0 \]Le point \(J\) correspond à un angle de :
\[ \frac{2\pi}{3} \]Le point \(J^2\) correspond à un angle de :
\[ \frac{4\pi}{3} \]Le cercle complet correspond à l'angle :
\[ 2\pi \]Les trois points partagent donc le cercle en trois arcs égaux.
Chaque arc correspond à :
\[ \boxed{ \frac{2\pi}{3} } \]Or nous savons que :
\[ \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac12 \] \[ \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt3}{2} \]Nous pouvons réécrire \(J\) sous la forme :
\[ \boxed{ J= \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) + i \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) } \]Cette écriture fait apparaître directement la position du point sur le cercle.
Elle sera appelée forme trigonométrique.
Nous reconnaissons :
\[ \cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac12 \] \[ \sin \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt3}{2} \]Le nombre \(J^2\) correspond à un angle double de celui de \(J\).
En effet :
\[ 2\times\frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \]Nous savons que \(J\) est solution de :
\[ x^2+x+1=0 \]En remplaçant \(x\) par \(J\), nous obtenons :
\[ J^2+J+1=0 \]Cette relation intervient très souvent dans les exercices sur les nombres complexes.
Les nombres complexes peuvent être vus comme des vecteurs du plan.
La relation
\[ 1+J+J^2=0 \]signifie que la somme des trois vecteurs est nulle.
Les trois vecteurs associés à
\[ 1,\quad J,\quad J^2 \]forment un équilibre parfait.
C'est une conséquence directe de leur répartition régulière sur le cercle unité.
Quels sont les nombres complexes dont le cube vaut 1 ?
\[ z^3=1 \]Le nombre \(1\) est donc une solution.
Le nombre \(J\) est également une solution.
Le nombre \(J^2\) est aussi une solution.
Les trois solutions de
\[ z^3=1 \]sont situées sur le cercle unité.
Elles forment les sommets d'un triangle équilatéral.
On les appelle les racines cubiques de l'unité.
Si trois solutions forment un triangle équilatéral, que se passera-t-il pour
\[ z^4=1 \]?
Obtiendrons-nous un carré ?
Nous cherchons tous les nombres complexes vérifiant :
\[ z^4=1 \]Commençons par quelques nombres connus.
\[ 1^4=1 \] \[ i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1 \] \[ (-1)^4=1 \] \[ (-i)^4=1 \]Les quatre solutions appartiennent au cercle unité.
Elles sont réparties régulièrement sur le cercle.
Les angles sont :
\[ 0 \] \[ \frac{\pi}{2} \] \[ \pi \] \[ \frac{3\pi}{2} \]Les solutions de
\[ z^4=1 \]forment les sommets d'un carré inscrit dans le cercle unité.
Pour l'équation
\[ z^3=1 \]nous avons obtenu un triangle équilatéral.
Pour l'équation
\[ z^4=1 \]nous obtenons un carré.
Que se passera-t-il pour
\[ z^5=1 \]?
Obtiendrons-nous un pentagone régulier ?
Pour tout entier naturel non nul \(n\), l'équation
\[ z^n=1 \]admet exactement \(n\) solutions complexes distinctes données par :
\[ z_k= e^{i\frac{2k\pi}{n}} \qquad (k=0,1,\ldots,n-1) \]Ces solutions sont appelées racines n-ièmes de l'unité.
Pour \(n=3\), le théorème donne :
\[ z_0=e^{i0}=1 \] \[ z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}=J \] \[ z_2=e^{i\frac{4\pi}{3}}=J^2 \]Les solutions de
\[ z^3=1 \]sont donc :
\[ \boxed{ 1,\quad J,\quad J^2 } \]Les solutions de
\[ z^3=1 \]sont :
\[ 1,\quad J,\quad J^2 \]Le facteur \(z-1\) fournit la solution \(z=1\).
Les deux autres solutions doivent donc annuler le second facteur.
Les nombres
\[ J \quad\text{et}\quad J^2 \]sont exactement les solutions de :
\[ z^2+z+1=0 \]Ainsi, l'équation qui a permis de découvrir \(J\) apparaît naturellement comme une conséquence de l'étude des racines cubiques de l'unité.