Dans ce chapitre, nous allons découvrir les nombres complexes à partir d'une figure géométrique très particulière. Nous n'allons pas commencer par des définitions abstraites mais par une observation simple qui nous conduira naturellement à la création de nouveaux nombres.
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points :
\[ A(1,0) \] \[ J \left( -\frac12, \frac{\sqrt3}{2} \right) \] \[ J' \left( -\frac12, -\frac{\sqrt3}{2} \right) \]Le point \(J'\) semble être le symétrique du point \(J\) par rapport à l'axe horizontal.
De plus, les trois points semblent situés sur un même cercle.
Le point \(A\) a pour coordonnées :
\[ A(1,0) \]Par conséquent :
\[ OA = \sqrt{1^2+0^2} \] \[ OA=1 \]Le point \(J\) a pour coordonnées :
\[ J \left( -\frac12, \frac{\sqrt3}{2} \right) \]Ainsi :
\[ OJ = \sqrt{ \left( -\frac12 \right)^2 + \left( \frac{\sqrt3}{2} \right)^2 } \] \[ OJ = \sqrt{ \frac14+\frac34 } \] \[ OJ=1 \]Le point \(J'\) a pour coordonnées :
\[ J' \left( -\frac12, -\frac{\sqrt3}{2} \right) \]Donc :
\[ OJ' = \sqrt{ \left( -\frac12 \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt3}{2} \right)^2 } \] \[ OJ' = \sqrt{ \frac14+\frac34 } \] \[ OJ'=1 \]Nous avons obtenu :
\[ OA=OJ=OJ'=1 \]Les trois points sont donc situés à la même distance de \(O\).
Ils appartiennent donc à un cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
Les trois côtés sont égaux.
\[ \boxed{ AJJ' \text{ est un triangle équilatéral} } \]Les points \(J\) et \(J'\) ont la même abscisse :
\[ -\frac12 \]mais leurs ordonnées sont opposées :
\[ \frac{\sqrt3}{2} \qquad \text{et} \qquad -\frac{\sqrt3}{2} \]Le point \(J'\) est donc le symétrique de \(J\) par rapport à l'axe réel.
Pourquoi les coordonnées du point \(J\) sont-elles précisément :
\[ \left( -\frac12, \frac{\sqrt3}{2} \right) \]D'où proviennent ces nombres ?
Existe-t-il une équation dont ce point serait naturellement une solution ?
C'est cette question qui va nous conduire à la découverte des nombres complexes.
Essayons de trouver une équation dont les solutions pourraient être liées aux sommets du triangle.
Considérons l'équation :
\[ x^2+x+1=0 \]Dans l'ensemble des nombres réels, il n'existe aucun nombre dont le carré vaut \(-3\).
L'équation semble donc impossible à résoudre.
Pour résoudre de telles équations, les mathématiciens ont introduit un nouveau nombre :
\[ \boxed{i^2=-1} \]Ce nombre est appelé unité imaginaire.
Observons la première solution :
\[ x_1= \frac{-1+i\sqrt3}{2} \] \[ x_1= -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} \]Sa partie réelle est :
\[ -\frac12 \]Sa partie imaginaire est :
\[ \frac{\sqrt3}{2} \]Ce sont exactement les coordonnées du point \(J\).
Cette fois :
\[ \left( -\frac12, -\frac{\sqrt3}{2} \right) \]Ce sont exactement les coordonnées du point \(J'\).
Les points \(J\) et \(J'\) ne sont pas apparus par hasard.
Ils sont les solutions de l'équation :
\[ x^2+x+1=0 \]La géométrie nous a conduits naturellement à la création des nombres complexes.
\[ J= -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} \] \[ J'= -\frac12 - i\frac{\sqrt3}{2} \]Que se passe-t-il si l'on multiplie \(J\) par lui-même ?
Retrouvera-t-on un point déjà présent sur notre figure ?
La réponse est surprenante...
Nous avons trouvé :
\[ J= -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} \]Calculons :
\[ J^2 = \left( -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2} \right)^2 \]Or nous avions déjà rencontré le point :
\[ J' = -\frac12 - i\frac{\sqrt3}{2} \]Donc :
\[ \boxed{ J^2=J' } \]Multiplier \(J\) par lui-même nous fait passer du point \(J\) au point \(J'\).
Nous avons obtenu :
\[ 1 \longrightarrow J \longrightarrow J^2 \longrightarrow 1 \]Après trois multiplications successives, nous revenons exactement au point de départ.
Puisque :
\[ J^3=1 \]alors \(J\) est solution de :
\[ x^3=1 \]ou encore :
\[ x^3-1=0 \]Les trois solutions sont donc :
\[ 1 \] \[ J \] \[ J^2 \]Les trois nombres \[ 1,\;J,\;J^2 \] sont les trois solutions de : \[ x^3=1 \] et correspondent aux trois sommets d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle unité.
Considérons les trois points :
\[ 1=(1,0) \] \[ J= -\frac12+ i\frac{\sqrt3}{2} \] \[ J^2= -\frac12- i\frac{\sqrt3}{2} \]Ils appartiennent tous au cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\).
Le cercle complet correspond à un angle de :
\[ 2\pi \]Les trois sommets partagent ce cercle en trois parties égales.
Ainsi :
\[ \widehat{(O1,OJ)} = \frac{2\pi}{3} \] \[ \widehat{(OJ,OJ^2)} = \frac{2\pi}{3} \] \[ \widehat{(OJ^2,O1)} = \frac{2\pi}{3} \]Le point \(1\) devient le point \(J\).
On passe donc d'un sommet au suivant.
On avance encore d'un sommet.
On revient au point de départ.
Multiplier par \(J\) revient à effectuer un déplacement d'un sommet au suivant.
À chaque multiplication par \(J\), on tourne de :
\[ \boxed{ \frac{2\pi}{3} } \]autour du centre \(O\).
Après trois multiplications :
\[ 3\times\frac{2\pi}{3} = 2\pi \]On effectue un tour complet et l'on revient au point de départ.
\[ 1 \longrightarrow J \longrightarrow J^2 \longrightarrow 1 \]À tout nombre complexe
\[ z=a+ib \]on associe le point :
\[ M(a,b) \]ou encore le vecteur :
\[ \overrightarrow{OM} \]L'affixe de la somme de deux vecteurs est obtenue en ajoutant leurs coordonnées.
On retrouve exactement la règle du parallélogramme étudiée en géométrie.
Additionner deux nombres complexes revient à additionner les vecteurs associés.
Que signifie géométriquement la multiplication de deux nombres complexes ?
L'addition correspond aux vecteurs. Mais la multiplication ?
À chaque multiplication par \(J\), nous passons au sommet suivant du triangle.
Après trois multiplications, nous revenons au point de départ.
Nous avons découvert que certains nombres complexes peuvent être décrits grâce à leur position sur un cercle.
Dans le prochain chapitre, nous chercherons une nouvelle manière de représenter les nombres complexes à l'aide d'une distance à l'origine et d'une position sur le cercle.
Cette nouvelle écriture simplifiera considérablement les calculs de produits et de puissances.