Les nombres complexes constituent une extension de l'ensemble des nombres réels. Ils permettent de résoudre des équations qui n'admettent aucune solution dans ℝ.
Considérons l'équation :
\[ x^2+3x-4=0 \]Son discriminant est :
\[ \Delta=25 \]Cette équation possède deux solutions réelles :
\[ x_1=1 \qquad ; \qquad x_2=-4 \]Considérons maintenant :
\[ x^2+3x+4=0 \]Son discriminant est :
\[ \Delta=-7 \]Le discriminant est négatif. Aucun nombre réel n'a pour carré −7.
Il devient donc nécessaire d'introduire un nouvel ensemble de nombres.
On introduit un nouveau nombre noté \(i\), appelé unité imaginaire.
\[ i^2=-1 \]Ce nombre n'appartient pas à l'ensemble des nombres réels.
\[ i \notin \mathbb{R} \]Grâce à l'unité imaginaire, on peut écrire :
\[ \sqrt{-7}=i\sqrt7 \]Tout nombre complexe s'écrit sous la forme :
\[ z=a+bi \]où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
Pour \(z=a+bi\) :
\[ \operatorname{Re}(z)=a \] \[ \operatorname{Im}(z)=b \]| Nombre complexe | Partie réelle | Partie imaginaire |
|---|---|---|
| \(3+2i\) | 3 | 2 |
| \(-5+i\) | -5 | 1 |
| \(4\) | 4 | 0 |
| \(-7i\) | 0 | -7 |
Un nombre complexe est réel si sa partie imaginaire est nulle.
Un nombre complexe est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle.
\[ \mathbb{R}\subset\mathbb{C} \]On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
\[ z= \frac{(2+3i)(3+4i)} {(3-4i)(3+4i)} \] \[ z= \frac{-6+17i}{25} \] \[ z= -\frac6{25} + \frac{17}{25}i \]Dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\), à tout point \(M(a,b)\), on associe le nombre complexe :
\[ z_M=a+ib \]Ce nombre complexe est appelé affixe du point M.
Un point possède une position unique dans le plan. Son affixe permet de repérer cette position.
Soit :
\[ \vec u= \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \]Son affixe est :
\[ \operatorname{aff}(\vec u)=a+ib \]Deux vecteurs ayant les mêmes coordonnées possèdent la même affixe, même s'ils ne sont pas placés au même endroit.
Soient :
\[ z_A=a+ib \] \[ z_B=c+id \]Alors :
\[ \boxed{ \operatorname{aff}(\overrightarrow{AB}) = z_B-z_A } \]Or les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont :
\[ \begin{pmatrix} c-a\\ d-b \end{pmatrix} \]On retrouve donc exactement son affixe.
Si \(I\) est le milieu du segment \([AB]\), alors :
\[ \boxed{ z_I= \frac{z_A+z_B}{2} } \]Si \(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\), alors :
\[ z_G= \frac{z_A+z_B+z_C}{3} \]Alors :
\[ z_G= \frac{(1+i)+(3+6i)+(5+2i)}{3} \] \[ z_G= \frac{9+9i}{3} \] \[ \boxed{ z_G=3+3i } \]Soient deux points \(A\) et \(B\) d'affixes respectives \(z_A=a+ib\) et \(z_B=c+id\).
La distance \(AB\) est :
\[ AB= \sqrt{ (c-a)^2+(d-b)^2 } \]La longueur du vecteur est :
\[ ||\vec u|| = \sqrt{a^2+b^2} \]Le conjugué de \(z\) est :
\[ \boxed{ \overline z=a-ib } \]Le point d'affixe \(\overline z\) est le symétrique du point d'affixe \(z\) par rapport à l'axe réel.
Le nombre \(j\) est une racine cubique de l'unité.
On considère les points d'affixes :
\[ A(1) \] \[ B(j) \] \[ C(j^2) \]Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
Les trois points appartiennent au cercle trigonométrique et sont répartis régulièrement.
L'angle entre deux sommets consécutifs vaut :
\[ 120^\circ \]