Exercice 12 – page 31 (Livre Sciences expérimentales)
\[ (E):\; z^3-8z^2+24z-32=0 \]On considère dans \(\mathbb C\) l'équation :
\[ (E):\; z^3-8z^2+24z-32=0. \]On vérifie immédiatement que :
\[ 4^3-8\times4^2+24\times4-32=0. \]Donc \(z_0=4\) est une solution de \((E)\).
Le polynôme admet alors le facteur \((z-4)\).
Effectuons la division :
\[ z^3-8z^2+24z-32 =(z-4)(z^2-4z+8). \]Il reste à résoudre :
\[ z^2-4z+8=0. \]Son discriminant vaut :
\[ \Delta=(-4)^2-4\times1\times8=-16. \]Ainsi :
\[ z=\frac{4\pm4i}{2}. \]Les deux autres solutions sont :
\[ z_1=2+2i, \qquad z_2=2-2i. \]Les solutions de \((E)\) sont donc :
\[ \boxed{4,\;2+2i,\;2-2i}. \]Pour \(z_1=2+2i\) :
\[ |z_1|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2. \] \[ \arg(z_1)=\frac{\pi}{4}. \] Donc : \[ z_1=2\sqrt2\,e^{i\pi/4}. \]De même :
\[ z_2=2\sqrt2\,e^{-i\pi/4}. \]Enfin :
\[ 4=4e^{i0}. \]Soit le nombre complexe :
\[ z=a+ib. \]Le module de \(z\), noté \(|z|\), est défini par :
\[ |z|=\sqrt{a^2+b^2}. \]Lorsque \(z\neq0\), on peut écrire :
\[ z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta), \]où \(\theta\) est un argument de \(z\).
Pour déterminer \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\), on utilise les formules :
\[ \cos\theta=\frac{a}{|z|} \] et \[ \sin\theta=\frac{b}{|z|}. \]Ces relations proviennent de la représentation géométrique du nombre complexe.
Considérons le nombre complexe :
\[ z=2+2i. \]Calculons son module :
\[ |z| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt8 = 2\sqrt2. \]On obtient alors :
\[ \cos\theta = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \] et \[ \sin\theta = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}. \]Comme le point représentant \(z\) appartient au premier quadrant, on en déduit :
\[ \theta=\frac{\pi}{4}. \]La forme trigonométrique de \(z\) est donc :
\[ z = 2\sqrt2 \left( \cos\frac{\pi}{4} +i\sin\frac{\pi}{4} \right). \]En utilisant la formule d'Euler
\[ e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta, \]on obtient la forme exponentielle :
\[ \boxed{ z= 2\sqrt2\,e^{i\pi/4} }. \]De même :
\[ 2-2i = 2\sqrt2\,e^{-i\pi/4}. \]Ainsi, pour passer d'un nombre complexe \(a+ib\) à sa forme exponentielle :
Les formes exponentielles sont donc :
\[ \boxed{ \begin{aligned} z_0&=4e^{i0},\\[2mm] z_1&=2\sqrt2\,e^{i\pi/4},\\[2mm] z_2&=2\sqrt2\,e^{-i\pi/4}. \end{aligned} } \]